第一章，06-行列式的降阶计算-余子式和代数余子式
简介余子式代数余子式代数余子式相关定理行列式按行(列)展开法则证明
展开定理的推论
简介
这是《玩转线性代数》的学习笔记。 示例请查看原文
余子式
在n阶行列式中，把元素
a
i
j
a_{ij}
aij所在的第i行与第j列划去后留下的
n
−
1
n-1
n−1阶行列式叫做元素
a
i
j
a_{ij}
aij的余子式，记作
M
i
j
M_{ij}
Mij。
代数余子式
在n阶行列式中，记
A
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
M
i
j
A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
Aij=(−1)i+jMij为元素的代数余子式。
代数余子式相关定理
一个n阶行列式，如果其中第i行只有一个
a
i
j
a_{ij}
aij非零，则行列式
D
=
a
i
j
A
i
j
D=a_{ij}A_{ij}
D=aijAij。 由于转置不改变行列式的值，行和列其实是等价的，所以这定理对列也成立。
行列式按行(列)展开法则
n阶行列式
D
D
D等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
D
=
a
i
1
A
i
1
+
a
i
2
A
i
2
+
⋯
+
a
i
n
A
i
n
=
∑
k
=
1
n
a
i
k
A
i
k
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
，
D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}\quad(i=1,2,\cdots,n)，
D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=k=1∑naikAik(i=1,2,⋯,n)， 或
D
=
a
1
j
A
1
j
+
a
2
j
A
2
j
+
⋯
+
a
n
j
A
n
j
=
∑
k
=
1
n
a
k
j
A
k
j
(
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
。
D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum_{k=1}^n a_{kj}A_{kj}\quad(j=1,2,\cdots,n)。
D=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj=k=1∑nakjAkj(j=1,2,⋯,n)。
证明
任选
D
D
D的第i行，把该行元素都写作n个数之和：
D
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
+
0
+
⋯
+
0
0
+
a
i
2
+
⋯
+
0
⋯
0
+
⋯
+
0
+
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
+
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
0
a
i
2
⋯
0
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
+
⋯
+
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots &a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+0+\cdots+0 & 0+a_{i2}+\cdots+0 & \cdots &0+\cdots+0+a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & 0& \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0& a_{i2} & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} +\cdots+ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1+0+⋯+0⋮an1a12⋮0+ai2+⋯+0⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮0+⋯+0+ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮an1a12⋮0⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮0⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮0⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮0⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+⋯+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮0⋮an1a12⋮0⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 则
D
=
a
i
1
A
i
1
+
a
i
2
A
i
2
+
⋯
+
a
i
n
A
i
n
=
∑
k
=
1
n
a
i
k
A
i
k
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}\quad(i=1,2,\cdots,n)
D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=k=1∑naikAik(i=1,2,⋯,n)
展开定理的推论
行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。即:
a
i
1
A
j
1
+
a
i
2
A
j
2
+
⋯
+
a
i
n
A
j
n
=
0
,
i
≠
j
a
1
i
A
1
j
+
a
2
i
A
2
j
+
⋯
+
a
n
i
A
n
j
=
0
,
i
≠
j
a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i \neq j a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0,i \neq j
ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0,i=ja1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj=0,i=j
例：
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
a
11
A
11
+
a
12
A
12
+
⋯
+
a
1
n
A
1
n
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11A11+a12A12+⋯+a1nA1n 将等式两边的
a
11
a_{11}
a11换成
a
21
a_{21}
a21，
a
12
a_{12}
a12换成
a
22
a_{22}
a22，
a
1
n
a_{1n}
a1n换成
a
2
n
a_{2n}
a2n，即用第二行元素替换第一行，对应行列式为：
a
21
A
11
+
a
22
A
12
+
⋯
+
a
2
n
A
1
n
=
∣
a
21
a
22
⋯
a
2
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
0
。
a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}+\cdots+a_{2n}A_{1n} =\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =0。
a21A11+a22A12+⋯+a2nA1n=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a21a21⋮an1a22a22⋮an2⋯⋯⋯a2na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0。
另： 将等式两边的
a
11
a_{11}
a11换成
b
1
b_{1}
b1，
a
12
a_{12}
a12换成
b
2
b_{2}
b2，
a
1
n
a_{1n}
a1n换成
b
n
b_{n}
bn，即用第二行元素替换第一行，对应行列式为：
b
1
A
11
+
b
2
A
12
+
⋯
+
b
n
A
1
n
=
∣
b
1
b
2
⋯
b
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
b_{1}A_{11}+b_{2}A_{12}+\cdots+b_{n}A_{1n} =\begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
b1A11+b2A12+⋯+bnA1n=∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1a21⋮an1b2a22⋮an2⋯⋯⋯bna2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 即要计算某行(列)元素代数余子式的组合
b
1
A
11
+
b
2
A
12
+
⋯
+
b
n
A
1
n
b_{1}A_{11}+b_{2}A_{12}+\cdots+b_{n}A_{1n}
b1A11+b2A12+⋯+bnA1n时，只要将该行(列)替换为系数即可。
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