引发 » 科学 » 数学的 » 统计数据 » 数学期望：公式、性质、例子、练习
数学期望是概率和统计学中的一个基本概念，表示随机变量的平均值。在这里，数学期望被计算为随机变量可以假设的所有可能值的加权平均值，并根据与每个值相关的概率进行加权。
在本文中，我们将探讨数学期望公式、其性质、计算示例以及一个练习来巩固你的理解。数学期望是一个强大的工具，它使我们能够基于概率数据进行预测和推断，并广泛应用于科学和工程的各个领域。让我们进一步探讨这个概念，以及它如何在不同的情境中应用。
如何利用数学确定一组值的平均值。
要用数学方法确定一组值的平均值，只需将所有值相加，然后将结果除以值的总数。此运算称为算术平均值，是一种将数据集概括为单个代表性值的简单有效的方法。
计算一组数值的平均值的公式是：
平均值 = (值 1 + 值 2 + 值 3 + ... + 值 N) / N
其中 N 表示集合中值的总数。要找到平均值，只需将所有值相加，然后将结果除以值的总数。
平均值有一些有趣的特性，例如容易受到极值的影响。过大或过小的值都会扭曲平均值，使其对数据集的代表性降低。
为了说明，让我们计算一组值的平均值：10、15、20 和 25。
平均值 = (10 + 15 + 20 + 25) / 4 = 70 / 4 = 17,5
因此，这组数值的平均值是17,5。
练习计算平均值的一个简单练习是确定以下值的平均值：5、7、9、11 和 13。
平均值 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) / 5 = 45 / 5 = 9
因此，这些值的平均值是9。
数学期望的含义：概率和统计中的基本概念。
数学期望是概率和统计学中的一个基本概念，表示随机变量的平均值。换句话说，它是实验可能结果的加权平均值，其中考虑了每个结果发生的概率。
数学期望公式，表示为 E（X），是通过将变量的每个可能值乘以其概率，然后将所有这些乘积相加而计算出来的。从数学上讲，我们可以将数学期望表示如下：
E(X) = Σ x * P(x)
哪里 x 表示变量的每个可能值，并且 P（x） 是与该值相关的概率。
数学期望的一些重要性质包括线性、独立性和不变性。数学期望的线性意味着两个变量之和的期望等于它们各自期望之和。独立性意味着两个独立变量乘积的期望等于它们各自期望的乘积。不变性意味着一个常数乘以一个变量的期望等于该常数乘以该变量的期望。
为了更好地说明这个概念，我们来看一个简单的例子。假设我们掷一个公平的六面骰子，并想计算结果的数学期望。在这种情况下，我们有六种可能的结果（1、2、3、4、5、6），每种结果发生的概率相同，均为 1/6。因此，数学期望为：
E(X) = (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) = 3.5
因此，掷一个公平骰子结果的数学期望是 3.5。这个值代表了我们期望通过多次掷骰子获得的平均值。
相关： 条件概率：公式和方程、性质、例子为了练习计算数学期望，您可以尝试解决以下练习：计算一枚公平硬币的数学期望，其中正面朝上的概率为 1/2，反面朝上的概率为 1/2。
期望值：了解如何以简单的方式计算这一重要的统计指标。
期望值 是一个重要的统计指标，它表示随机实验中所有可能结果的加权平均值，并考虑了每种结果发生的概率。要计算预期值，只需将每种可能结果乘以其发生的概率，然后将所有乘积相加即可。
计算随机变量期望值的公式 X 由下式给出：
E（X）= Σ（x * P（x））
哪里 E（X） 表示预期值 X, x 是可能的结果，并且 P（x） 是该结果发生的概率。
期望值具有一些重要的属性，例如线性，这意味着两个随机变量之和的期望值等于它们各自期望值之和。此外，期望值是集中趋势的指标，可以帮助预测多次重复实验的平均结果。
计算预期值的一个简单例子是掷一个公平的六面骰子。可能的结果是 1、2、3、4、5 和 6，每种结果的概率都是 1/6。因此，该实验的预期值为：
E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5
为了练习计算预期值，一个简单的练习是计算一枚公平硬币的预期值，其中可能的结果是正面和反面，每种结果的概率都是1/2。执行计算并检查你是否获得了正确的预期值。
如何简单高效地计算XY。
要计算随机变量 XY 的数学期望，需要使用公式 E(XY) = E(X) * E(Y)，其中 E 表示数学期望。该公式基于独立随机变量相乘的性质。
要计算 XY 的数学期望，必须先分别计算 X 和 Y 的数学期望。然后将得到的值相乘，得到最终结果。
让我们看一个例子来更好地说明 XY 数学期望的计算。假设 E(X) = 3 且 E(Y) = 5。要求 E(XY)，只需将求出的值相乘即可：E(XY) = 3 * 5 = 15。
为了巩固这个概念，让我们来解决一个练习：设 X 是一个随机变量，E(X) = 2，Y 是一个随机变量，E(Y) = 4。计算 E(XY)。
使用公式 E(XY) = E(X) * E(Y)，我们得到 E(XY) = 2 * 4 = 8。因此，在这种情况下 XY 的数学期望是 8。
由此可见，计算 XY 的数学期望简单高效；您只需正确应用公式，并将随机变量的值相乘即可。需要记住的是，该公式仅对独立随机变量有效。
数学期望：公式、性质、例子、练习
A 数学期望 或预期值 随机变量 X，表示为E(X)，定义为随机事件发生的概率与该事件的值的乘积之和。
以数学形式表示如下：
μ = E（X）= x Σ i . P (x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + ...
其中 x i 是事件的值，P(x i ) 是其发生的概率。该和分布在 X 允许的所有值上。如果它们是有限的，则该和收敛于 E(X)；但如果和不收敛，则该变量根本没有预期值。
相关： Mann U-Whitney 检验：它是什么、何时应用、执行、示例当谈到连续变量时 x ，变量可以有无限值，积分代替求和：
这里 f(x) 表示 概率密度函数 .
一般来说，数学期望（加权平均值）不等于平均值或算术平均值，除非它们是离散分布，其中 每个事件发生的可能性都相同 。然后，只有这样：
μ = E（X）=（1 / n）∑x i
其中 n 是可能值的数量。
这个概念在金融市场和保险公司非常有用，因为这些市场通常缺乏确定性，但概率很高。
数学期望的性质
在数学期望的最重要的性质中，以下几点尤为突出：
- 信号： 如果 X 为正，则 E(X) 也为正。
– 常数的期望值 ：实数常数的期望值 k 是常数。
E（k）= k
– 总和的线性： 随机变量的期望是两个变量 X 和 Y 的和，即期望的总和。
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
– 乘以常数 ：如果随机变量具有以下形式 kX ， 波浪 k 是一个常数（实数），它超出了预期值。
E（kX）= kE（X）
– 乘积的期望值和变量之间的独立性 ：设随机变量是随机变量X和Y的乘积， 独立的 ，则乘积的期望值就是期望值的乘积。
E(XY) = E(X).E(Y)
– 形式为随机变量 Y = aX + b ：通过应用上述属性找到。
E(aX + b) = aE(X) + E(b) = aE(X + b)
一般来说，如果 Y=g（X）：
E(Y)=E[g(X)]=∑g(x i ).P[g(x i )]
– 按预期价值订购： 如果 X ≤ Y，则：
E(X)≤E(Y)
因为它们各自都有期望值。
博彩中的数学希望
著名天文学家克里斯蒂安·惠更斯（1629-1695）在观测天体之余，致力于研究赌博游戏中的概率等诸多学科。正是他在1656年的著作中提出了数学期望的概念，该著作的标题为： 关于游戏的推理 .
惠更斯发现，根据预期价值，赌注可分为三类：
-具有优势的游戏：E(X)>0
– 公平投注：E(X) = 0
- 失败游戏：E（X）<0
问题在于，在概率游戏中，数学期望并不总是那么容易计算。即使可以计算，结果有时也会让那些犹豫要不要下注的人感到失望。
我们来做一个简单的赌注：正面或反面，输的人得付一杯1美元的咖啡。这个赌注的预期价值是多少？
嗯，正面朝上的概率和十字朝上的概率是1/1。随机变量是赢XNUMX美元或输XNUMX美元，赢用+号表示，输用-号表示。
我们将信息整理成一个表格：
我们将列值相乘：1. ½ = ½ 和 (-1)。½ = -½，最后将结果相加。总和为 0，这是一场公平的游戏，参与者不应该输赢。
相关： 抽样误差：公式和方程式、计算、示例法式轮盘赌和彩票是大多数赌徒都会输的劣势游戏。稍后，在解答练习部分，会有一个稍微复杂一点的赌注。
例子
这里有一些简单的例子，其中数学期望的概念很直观并且阐明了概念：
范例1
我们先来掷一个公平的骰子。掷出的期望值是多少？假设骰子是公平的，有 6 次正面，那么掷出任意值（X = 1、2、3 或 6）的概率都是 1/6，因此：
E(X) = 1.(1/6) + 2.(1/6) + 3.(1/6) + 4.(1/6) + 5.(1/6) + 6.(1 / 6) = 21/6 = 3,5
在这种情况下，预期值等于平均值，因为每张牌出现的概率相同。但 E(X) 并非可能值，因为没有一张牌的面值值 3,5。在某些分布中，这种情况完全可能出现，尽管在这种情况下，结果对投注者没有太大帮助。
让我们看另一个抛两枚硬币的例子。
范例2
抛掷两枚公平硬币，我们将抛出的正面数量定义为随机变量X。以下事件可能发生：
- 没有出现面：0 个面等于 2 个十字架。
-有一张脸和一个印章或十字架。
-出现了两张面孔。
令 C 为一张脸，T 为一枚邮票，描述这些事件的样本空间如下：
S m = {密封-密封；密封-面；面-密封；面-面} = {TT, TC, CT, CC}
事件发生的概率为：
P(X = 0) = P(T).P(T) = ½. ½ = ¼
P(X = 1) = P(TC) + P(CT) = P(T).P(C) + P(C).P(T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C).P (C) = ½. ½ = ¼
该表是根据所获取的数值构建的：
根据开头给出的定义，数学期望的计算公式为：
μ = E（X）= x Σ i .P（x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + ...
替换值：
E(X) = 0. 1/2 + 1. XNUMX/XNUMX + XNUMX. XNUMX/XNUMX = XNUMX/XNUMX + XNUMX/XNUMX = XNUMX
该结果的解释如下：如果一个人有足够的时间进行多次抛硬币实验，那么他或她每次抛硬币都有望得到正面。
然而，我们知道，同时发布两个标签是完全可能的。
已解决的练习
抛两枚公平硬币，赌注如下：如果两次都出现正面，你赢 3 美元；如果一次只出现一面，你赢 1 美元；但如果两次都出现正面，你得赔 5 美元。计算该赌注的预期利润。
解决方案
随机变量X是赌注中获得的金额，概率已在前面的例子中计算出来，因此，赌注表为：
E(X) = 3. 1/5 + 0. XNUMX/XNUMX + (-XNUMX)。 XNUMX/XNUMX = XNUMX
由于预期值为0，这是一场公平的游戏，这意味着投注者预计既不会赢也不会输。但是，投注金额可以调整，以决定最终的胜负。
参考文献
Brase, C. 2009. 《通俗易懂的统计学》。霍顿·米夫林出版社。
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Triola, M. 2010. 基础统计学。第 11 版。Addison Wesley 出版社。
Walpole, R. 2007.《科学与工程概率与统计》。第 8 版。培生教育出版社。
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